利用EXCE的规划求解进行求解威布尔分布参数

威布尔分布是瑞典物理学家Weibull W.分析材料强度时在实际经验的基础上推导出来 的分布形式[1]，国内外大量研究表明，用三参数威布尔分布比用对数正态分布往往能更准确 地描述结构疲劳寿命或腐蚀损伤的概率分布[2]，物理意义更加合理；在以损耗为特征的机械 零件寿命评估中，采用三参数威布尔分布比采用二参数威布尔分布拟合精度更高。因此，三 参数威布尔分布在强度与环境研究领域及机械零件磨损寿命评价中得到越来越广泛的应用。
在农业机械的强度设计中也经常要用到威布尔分布。
威布尔分布参数估计方法有很多， 国内外一直有人在进行相关研究[3-8]，现有几十种参 数估计方法，但多数只能用于形状参数和尺度参数的估计。在众多的估计方法中，能用于三 参数估计的并不多，见诸文献的有极大似然估计法、最大相关系数优化法、概率权重矩法、 灰色估计法、图估计法等，除图估计法外，其他方法大都计算复杂，应用不便，即便是计算 机水平发达的今天，也只能通过Matlab 或其他计算机语言编程计算。EXCEL 提供了超强的 数学运算、统计分析等实用程序 ，利用它的规划求解功能可以快速、高效地求解三参数威 布尔分布的参数估计问题。
2. 三参数威布尔分布模型 威布尔分布的寿命分布函数由下式给出 式中：m 称为形状参数，m>0；η 称为尺度参数，η>0；γ 称为位置参数，也称最小寿 命，表示产品在γ 以前不会失效，对于产品寿命有γ ≥ 0 ,γ =0 时退化为二参数威布尔分布； t 是产品的工作时间， t ≥ γ 。
当m<1 时， 由式( 3 ) 给出的失效率是递减型的，适合于建模早期失效；当m=1 时， 失效率为常数，即退化为指数分布，适合于建模随机失效；当m>1 时，失效率是递增的， 适合于建模磨耗或老化失效。
设有n 个产品进行寿命试验数据，按失效时间先后得到的寿命数据失效时间(顺序统计 量)为 n t ≤ t ≤Λ ≤ t 1 2 ，对应的累计失效概率(经验分布函数)为( ) ( ) ( ) 1 2 n F t ≤ F t ≤Λ ≤ F t 。
其中到第i 个产品失效时的累计失效概率F(ti )可用中位秩算法求得：
F t i i （2） 根据失效时间和累计失效概率即可用各种方法对其参数进行估计。
3. 最大相关系数优化法 对（1）式做变形处理，并取两次自然对数得到： 4. 用EXCEL 进行参数估计 （6）式所表示的方程十分复杂，解该方程一般是通过编程，用数值解法求出γ ，然后 求再用最小二乘法或其他方法求解形状参数和尺度参数。MS EXCEL 具有强大的统计和计 算功能，其“规划求解”功能更是求解最优化问题的强有力工具，（6）式所表示的方程利用 EXCEL 的“规划求解”功能可很容易解出，然后再利用其散点图的趋势线功能即可求出形状 参数和尺度参数。本文通过实例，就相关系数优化法，用EXCEL 进行求解。
例：选取5 台某产品进行可靠性试验，失效时间分别是27,32,36,42,49，已知产品寿命 服从威布尔分布，试估计分布参数。
1) 准备数据表 按图1 准备数据表 ⑴ 在A2～A6 单元格中输入产品失效的顺序号1～5； ⑵ 在B2～B6 单元格中输入产品的失效时间27、32、36、42、49；
⑶ 在I8 单元格中输入位置参数γ 的迭代初值，初值可选择接近于第一个失效时间，也 可用图估计法的估计值作为初值； ⑷ 在C2 单元格中输入公式“=LN(B2-$I$8)”，用填充柄填充C3～C6 单元格，C2～C6 单元格的值为i x ，即ln( ?γ ) i t ； ⑸ 在D2 单元格中输入公式“=C2*C2”，用填充柄填充D3～D6 单元格，D2～D6 单元 格的值为为2 i x ； ⑹ 在E2 单元格中输入公式“=(A2-0.3)/5.4”，用填充柄填充E3～E6 单元格，E2～E6 单 元格的值为为( ) i F t ，这里( ) i F t 采用中位值算法，即F(t ) = (i ? 0.3) (n + 0.4) i ； ⑺ 在F2 单元格中输入公式“=LN(LN(1/(1-E2)))”，用填充柄填充F3～F6 单元格，F2～ F6 单元格的值为为i y ，即 1 ( ) ln ln 1 i ? F t ； ⑻ 在G2 单元格中输入公式“=C2*F2”，用填充柄填充G3～G6 单元格，G2～G6 单元格 的值为i i x ? y ； ⑼ 在C7 单元格中输入公式“=AVERAGE(C2:C6)”，C7 单元格的值为x ； ⑽ 在C8 单元格中输入公式“=SUM(D2:D6)”，C8 单元格的值为Σ= n i i x ` 2 ； ⑾ 在C9 单元格中输入公式“=AVERAGE(F2:F6)”，C9 单元格的值为y ； ⑿ 在C10 单元格中输入公式“=SUM(G2:G6)”，C10 单元格的值为Σ= ? n i i i x y ` ； ⒀ 在H2 单元格中输入公式“=($C$7-C2)/(B2-$I$8)”，用填充柄填充H3～H6 单元格， H2～H6 单元格的值为 ?γ ⒁ 在I2 单元格中输入公式“=($C$9-F2)/(B2-$I$8)”，用填充柄填充I3～I6单元格，I2～ I6 单元格的值为 ； ⒂ 在F8 单元格中输入公式“=SUM(H2:H6)”，F8单元格的值为Σ= ； ⒃ 在F10 单元格中输入公式“=SUM(I2:I6)”，F10单元格的值为Σ= ⒄ 在I10 单元格中输入公式“=(C8-5*C7^2)*F10-(C10-5*C7*C9)*F8”，I10 单元格的值 就是（6）式的左边。
其他文字仅用于说明，与求解关系不大，可以不填。
2）使用“规划求解”功能估计位置参数γ ⑴ 选择“工具→规划求解”功能打开规划求解参数对话框，目标单元格设为$I$10，目 标值设为0，可变单元格设为$I$8:$B$2。
⑵ 对于产品寿命有1 0 ≤γ < t ，故单击约束条件“添加”按钮，添加约束条件：$I$8<=$B$2 和$I$8>=0；
⑶ 单击“求解”按钮，即可获得最大相关系数下的位置参数γ =20.2395，如图2 所示， 此时可获得最大相关系数R(x,y)=0.99950878； 3）使用图表功能求形状参数m 和尺度参数η ⑴ 插图散点图，横坐标为xi，纵坐标为yi； ⑵ 在散点图上添加趋势线，回归模型选择“线性”，并选择“显示公式”和“显示R2值”； ⑶ EXCEL自动绘制回归直线，并把结果显示在图上，结果如图3 所示。其中斜率1.8486 即为形状参数m，而5.5088 即为lnη m，故19.69 5. 结语 （1）三参数威布尔分布的参数估计较二参数威布尔分布的参数估计更为复杂，用 MS EXCEL 解决三参数威布尔分布的参数估计问题，实用方便。
（2）用“规划求解”进行位置参数的估计时，要注意选择好迭代精度和初值，若精度和 初值选择不合适，可能得不到最满意的解，建议初值尽可能离第一个失效时间近一些，精度 不低于10-7。
（3）失效概率有中位秩算法、平均秩算法，采用的算法不一样，估计结果也会稍有不 同。